ARITMATIKA SOSIAL

Aritmetika Sosial

A.    Harga beli, hara jual, laba dan rugi.

1.      Harga pembelian (modal)

Harga pembelian (modal) adalah harga barang dari produsen.

Modal = Harga pembelian + biaya tetap.

2.      Harga penjualan

Hara penjualan adalah harga barang yang ditetapkan oleh pembeli kepada penjual.

3.      Untung (laba)

Untung (laba) adalah selisih antara harga penjualan dan harga pembelian, dimana harga penjualan lebih  besar daripada harga pembelian.

Laba = Harga Penjualan – Harga Pembelian.

4.      Rugi

Rugi adalah selisih antara harga penjualan dan harga pembelian, dimana harga penjualan lebih kecil daripada harga pembelian.

Rugii = Harga pembeian – Harga penjualan.

Contoh : Surya membeli mainan mobil-mobilan seharga Rp. 125.000,00 berselang lama kemudian dia sudan bosan dengan mainan tersebut dan hendak menjual mainan nya dengan harga Rp. 150.000,00. Tentukanlah laba yang Surya peroleh!

Jawab : laba = h. Pen – h. Pem

                     = Rp. 150.000 – Rp. 125.000

                     = Rp. 25.000

B.     Persentasi Laba dan Rugi

1.      Persentase Laba

2.      Persentase rugi

Contoh : Lutfi membeli baju seharga Rp. 90.000,00 akan tetapi, ia sudah bosan dengan baju tersebut dan hendak menjualnya seharga Rp. 100.000,00. Tentukanlah persentase laba yang lutfi terima!

Jawab : untung = Rp. 100.000 – Rp. 90.000

                         = Rp. 10.000

     Persentase laba =

                               =

                               =

                               = 11,11 %

C.     Rabat (diskon), Bruto, Tara, dan Neto

1.      Rabat adalah potongan harga penjualan pada ssaat transaksi

Harga Bersih = Harga Kotor – diskon

2.      Bruto ( berat kotor)

Bruto adalah berat barang disertai dengan berat pembungkusnya.

Bruto = Neto + tara

3.      Tara (potongan)

Tara (potongan) adalah berat pembungkus atau kemasan suatu barang.

Persentase tara = tara/bruto x 100%

4.      Netto (berat bersih)

Netto (berat bersih) adalah berat tanpa disertai pembungkus atau kemasan suatu barang.

Contoh : bruto dari 5 barang adalah 700 kg. Setelah ditimbang 15% dari bruto merupakan tarra. Bila berat tiap barang sama maka netto dari masing masing barag adalah?

Jawab : Bruto = netto + tara

            Netto 5 barang = bruto – tara

                                     = 700-

                                     = 700 – 105

                                     = 595.

            Jadi, netto satu barang adalah 119 kg.

D.    Bunga

Bunga dihitung berdasarkan persen nilai dan dihitung secara periodik.

Misalkan :

·         P = suku bunga dalam persen

·         Mo = modal awal

·         t = waktu dalam tahun

·         b = waktu dalam bulan

·         h = waktu dalam hari.

Maka,

1.      bunga tahunan

bunga = p x M₀x t

2.      bunga bulanan

3.      bunga harian

MENGAPA MEMPELAJARI MATEMATIKA ?

Adik saya yang baru berumur 2 tahun senang sekali bermain dengan mainan dinosaurusnya. Setiap kali bermain, dinosaurus-dinosaurus kecil itu dia bariskan sambung menyambung seperti gerbong kereta api. Sambil membereskan barisannya, dia hitung satu per satu dinosaurus itu. 2,4,5,6,7,8,9,10. Sambil menghampirinya, saya tanya dia: ”Ada berapa dinosaurusnya?”. Dia menjawab: “4”. Mungkin empat adalah bilangan kesukaannya, sebab setiap kali ditanya jika pertanyaanya berapa, pasti jawabannya empat :). Jika minta sesuatu pun, pasti maunya diberi empat :).

Ilustrasi di atas menggambarkan bahwa kenyataannya matematika itu dekat sekali dengan kita. Hampir bisa dipastikan, bahwa matematika ada di hampir setiap kegiatan kita, baik disadari atau pun tidak.

Pada Faktanya, matematika kita pakai dalam kegiatan sehari-hari seperti dalam kegiatan perdagangan, ekonomi, teknologi, dan lain sebagainya. Demikian pentingnya, matematika juga dijuluki sebagai Queen of Sciences, ratunya para ilmu, sekaligus juga pelayannya. Dalam ilmu-ilmu sains khususnya, betapa matematika itu memiliki peranan yang cukup penting.

Dengan belajar matematika, kita dilatih untuk senantiasa berpikir logis dan kritis dalam memecahkan permasalahan. Selain itu, kejujuran, ketekunan dan keuletan kita juga akan terlatih dengan matematika.

Menyadari betapa perlu dan dekatnya matematika dengan kehidupan kita sehari-hari, sudah barang tentu mempelajarinya pun adalah penting.

Pentingnya matematika, setidaknya dapat kita lihat dalam kurikulum matematika di sekolah mendapat porsi jam lebih banyak di bandingkan dengan mata pelajaran lainnya. Mulai jenjang Sekolah Dasar hingga Perguruan Tinggi, pelajaran matematika itu ada dan dipelajari, baik secara global maupun spesifik. Bahkan pada jenjang prasekolah pun, matematika sudah mulai diperkenalkan.

Setelah kita menyadari pentingnya matematika, langkah selanjutnya adalah bagaimana kita menyukai matematika itu, sehingga kita tidak takut apalagi benci terhadap pelajaran matematika.

Mungkin ada beberapa alasan kenapa matematika menjadi pelajaran yang paling tidak disukai, kalau tidak menjadikan matematika adalah pelajaran yang dibencinya. Alasan yang pertama adalah karena matematika itu adalah ilmu yang abstrak, susah dipahami karena tidak real. Selain itu, faktor guru yang tidak menyenangkan sering kali juga dijadikan kenapa siswa tidak menyukai matematika.

Matematika adalah ilmu abstrak, karena memang begitu adanya. Hampir bisa dipastikan bahwa konsep-konsep matematika adalah konsep yang abstrak. Akan tetapi, perlu pula diingat bahwa dalam tahapan-tahapan tertentu, setiap manusia juga mampu memahami sesuatu yang abstrak, walau pun tentunya sesuai dengan tingkat kecerdasannya masing-masing. Ada yang begitu cepat menangkap, tetapi ada pula yang sangat lamban menangkapnya.

Sementara untuk alasan kedua, adalah faktor guru pengajar. Mungkin saja, gurunya kurang pintar, tidak berwibawa, kurang wawasan, tidak menyenangkan, sifatnya buruk, atau hal-hal buruk lainnya. Menanggapi hal itu, ingatlah, “Guru juga manusia!” Seandainya tidak puas dengan guru di dalam kelas, bertanyalah kepada guru lain di luar kelas atau di luar sekolah kita. Dan ingat lagi: “Guru juga manusia!!”  Atau bisa pula belajar dari sumber lain di dunia maya. Pada blog ini misalnya, sambil tetap mengingat: “Guru juga manusia!!!”

SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

Metode Penyelesaian SPLDV merupakan salah satu cabang dari sistem persamaan linier .SPLDV merupakan kependekan dari Sistem Persamaan Linier Dua Variabel . Lalu apakah yang di maksed dengan SPLDV ? Dan bagaimanakah metode penyelesaiannya ? Apakah metode penyelesaiannya sama hal nya dengan metode penyelesaian sistem linier seperti yang telah kita pelajari pada pembahasan sebelumnya ? Untuk lebih jelas lagi maka mari kita pelajari bersama kembali bagaimana metode penyelesaian sistem persamaan Linier Dua Variabel .

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel ( SPLDV )

Sebelum kita mempelajari lebih mendalam tentang bagaimana metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel , maka langkah pertama kita harus memahami pengertian , ciri – ciri dan hal – hal yang berhubungan dengan sistem persamaan linier variabel .

SPLDV , adalah suatu sistem persamaan atau bentuk relasi sama dengan dalam bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan berpangkat satu dan apabila digambarkan dalam sebuah grafik maka akan membentuk garis lurus . Dan karena hal ini lah maka persamaan ini di sebut dengan persamaan linier .

Ciri – ciri SPLDV :

• Menggunakan relasi tanda sama dengan ( = )
• Memiliki dua variabel
• Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu ( berpangkat satu )

Hal – hal yang berhubungan dengan SPLDV : 

a. Suku 

Suku yaitu bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel , koefisien dan konstanta . Dan setiap suku di pisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan .

Contoh :

6x – y + 4 , maka suku – suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y dan 4

b. Variabel

Variabel , yaitu peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y .

Contoh :

Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk . Jika dituliskan dalam bentuk persamaan adalah

misal : nanas = x dan jeruk = y , maka  persamannya adalah 2x + 5y

c. Koefisien 

Koefisien , yaitu suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis . Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel , karena penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel .

Contoh :

Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk . Jika di tulis dalam bentuk persamaan adalah :

misal : nanas = x dan jeruk = y , maka  persamannya adalah 2x + 5y . Dimana 2 dan 5 adalah koefisien . Dan 2 adalah koefisien x dan 5 adalah koefisien y .

d. Konstanta 

Konstanta , yaitu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel , maka nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai peubahnya .

Contoh :

2x + 5y  + 7 , dari persamaan tersebut konstanta adalah  7 , karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya .

Syarat Sistem Persamaan Linier Dua Variabel dapat memiliki satu penyelesaian , yaitu :

• Ada lebih dari satu atau ada dua persamaan linier dua variabel sejenis .
• Persamaan Linier Dua Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Dua Variabel , bukan Persamaan Linier Dua Variabel yang sama .

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel 

A. Metode Substitusi atau metode Mengganti 

Metode substitusi , yaitu metode atau cara menyelesaikan SPLDV dengan mengganti salah satu peubah atau variabel.

Contoh Soal :

1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30 .

Penyelesaian :

Langkah pertama :

x + 3y = 15

<=> x = -3y + 15  . . . .( 1 )

3x + 6y = 30  . . . .(2)

Lalu , masukkan persamaan ( 1 ) ke dalam persamaan (2) , untuk mencari nilai y , maka :

3x + 6y = 30

<=> 3 ( -3y +15 ) + 6y = 30

<=> -9y + 45 + 6y = 30

<=> -3y = 30 – 45

<=> -3y = -15

<=> y = 5

Selanjutnya untuk mencari nilai x maka , gunakan salah satu persamaan boleh persamaan (1) atau ( 2 ) :

x + 3y = 15

<=>x + 3 ( 5 ) = 15

<=> x + 15 = 15

<=> x = 0

atau

3x + 6y = 30

<=> 3x + 6 ( 5 ) = 30

<=> 3x + 30 = 30

<=> 3x = 0

<=> x = 0

Jadi , HP = { 0 , 5 }

2. Tentukan Penyelesaian dari persamaan  3x+ 5y = 16 , dan 4x + y = 10 , jika x = a dan y = b . Maka tentukan nilai a dan b !

Penyelesaian :

3x + 5y = 16 . . . .(1)

4x + y = 10

<=> y = -4x + 10 . . .(2 )

Langkah pertama substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1) :

3x + 5y = 16

<=> 3x + 5 ( -4x + 10 ) = 16

<=> 3x – 20x + 50 = 16

<=> -17x = 16 – 50

<=> -17x = -34

<=> x = 2

Lalu , substitusikan nilai x ke dalam persamaan (1) atau (2) :

3x + 5y = 16

<=> 3(2) + 5y = 16

<=> 6 +5y = 16

<=> 5y = 16 – 6

<=> 5y = 10

<=> y = 2

atau

4x + y = 10

<=> 4(2) + y = 10

<=> 8 +y = 10

<=> y = 2

Jadi , kita ketahui nilai x = 2 dan nilai y = 2 . Dan Yang ditanyakan adaah nilai a dan b , dimana x = a dan y = b , maka :

x = a , maka x = 2 dan y = b maka b = 2 .

B. Metode Eliminasi atau metode menghilangkan

Metode eliminasi , adalah Metode atau cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan cara mengeliminasi atau menghilngkan salah satu peubah ( variabel ) dengan menyamakan koefisien dari persamaan tersebut .

Cara untuk menghilangkan salah satu peubahnya yaitu dengan cara perhatikan tandanya , apabila tandanya sama [(+) dengan (+) atau (-) dengan (-) ] , maka untuk mengeliminasinya dengan cara mengurangkan . Dan sebaliknya apabila tandanya berbeda maka gunakanlah sistem penjumlahan .

Untuk lebih jelasnya , perhatikan contoh soal di bawah ini :

1. Tentukan Himpunan penyelesaian dari persamaan x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30 .

Penyelesaian :

Langkah pertama yaitu , menentukan variabel mana yang akan di eliminasi terlebih dahulu . Kali ini kita akan menghilangkan x terlebih dahulu , dan supaya kita temukan nilai y . Caranya yaitu :

3x + 6y = 30    : 3

<=> x + 2y = 10 . . . . ( 1 )

x + 3y = 15 . . . .(2)

Dari persamaan (1) dan (2) , mari kita eliminasi , sehingga hasilnya :

x + 3y = 15

x + 2y = 10     _

<=> y = 5

Selanjutnya , untuk mengetahui nilai x , maka caranya sebagai berikut :

x + 3y    = 15  | x2 | <=> 2x + 6y = 30   . . . .( 3 )

3x + 6y = 30  | x1 | <=> 3x + 6y = 30  . . .. (4 )

Eliminasi antara persamaan (3) dengan (4 ) , yang hasilnya menjadi :

3x + 6y = 30

2x + 6y = 30   _

<=> x = 0

Maka , Himpunan penyelesaiannya adalah :

HP = { 0 . 5 }

2. Tentukan Penyelesaian dari persamaan  3x+ 5y = 16 , dan 4x + y = 10 , jika x = a dan y = b . Maka tentukan nilai a dan b !

Penyelesaian :

Langkah yang pertama , yaitu tentukan variabel mana yang akan di eliminasi terlebih dahulu perhatikan penyelesaian di bawah ini

3x+ 5y = 16  | x1 | <=> 3x + 5y = 16 . . . .( 1 )

4x + y = 10 | x5 | <=> 20x + 5y = 50 . . .  ( 2 )

Dari persamaan (1 ) dan (2 ) , dapat kita eliminasi dan menghasilkan :

20x + 5y = 50

3x + 5y = 16     _

<=> 17 x + 0 = 34

<=. > x = 34 / 17

<=> x = 2

Selanjutnya , lakukan langkah yang sama namun kali ini yang harus sama x nya , maka caranya adalah :

3x+ 5y = 16 | x4 | <= > 12 x + 20y = 64 . . .(3)

4x + y = 10 | x3 | <=> 12x + 3y =  30 . . . .(4)

Persamaan (30 dan (4 ) , mari kita eliminasi untuk menghasilkan nilai y :

12 x + 20y = 64

12x + 3y =  30     _

<=> 0 + 17y = 34

<=> y = 2

Jadi , HP ={ 2 ,2 } , dan nilai a dan b adalah :

a= x = 2 dan b = y = 2

C. Metode Campuran ( eliminasi dan substitusi )

Metode campuran , yaitu suatu cara atau metode untuk menyelesaikan suatu persamaan linier dengan menguunakan dua metode yaitu metode eliminasi dan substitusi secara bersamaan . Untuk lebih jelasnya , perhatikan contoh di bawah ini :

Diketahui persamaan  x + 3y = 15 dan 3x + 6y = 30  , dengan menggunakan metode campuran tentukanlah Himpunan penyelesaiannya !

Penyelesaian :

x + 3y = 15  | x3| <=> 3x +9x = 45

3x + 6y = 30  | 1 | <=> 3x + 6y = 30    _

                                            0 + 3y = 15

                                              y = 5

x + 3y = 15

<=> x + 3.5 = 15

<=> x + 15 = 15

<=> x = 0

Jadi , HP ={ 0 , 5 }

Demikian penjelasan mengenai Metode penyelesaian SPLDV . Mudah bukan ? prinsipnya sama dengan cara menyelesaikan persamaan linier . Dan yang perlu difahami benar yaitu bentuk sisitem persamaan linier dua variabel itu seperti apa . Kata kuncinya adalah dua variabel , berarti peubahnya ada dua yaitu x dan y atau simbol yang lainnya .

Dan diantara cara ketiga di atas , cara nomer tigalah yang paling efektif dan efisien . Kenapa demikian ? karena juka kita sedang menyelesaikan Soal UAS , pasti menjadi mempercepat waktu dan yang penting hasilnyapun benar .

Semoga dengan penjelasan di atas sedikit banyak dapat membantu menyelesaikan persoalan sistem persamaan linier dua variabel .

ARITMATIKA

ARITMATIKA

Aritmatika atau dulu disebut ilmu hitung merupakan cabang atau pendahulu matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang awam, kata “ aritmatika “ sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan.

OPERASI ARITMATIKA

Operasi dasar matematika adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, walaupun operasi – operasi lain yang lebih canggih (seperti persentase, akar kuadrat,pemangkatan, dan logaritma) kadang juga dimasukkan kedalam kategori ini. Perhitungan dalam aritmatika dilakukan menurut suatu urutan operasi yang menentukan operasi aritmatika yang mana lebih dulu dilakukan.

Srotmatika bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, dan bilangan real umumnya dipelajari oleh anak sekolah, yang mempelajari algoritma manual aritmatika. Namun, banyak orang yang lebih suka menggunakan alat – alat seperti kalkulator, computer , atau sempoa untuk melakukan perhitungan aritmatika.

Perkembangan terakhir di Indonesia berkembang mempelajari aritmatika dengan bantuan metode jaritmatika, yakni menggunakan jari – jari tangan untuk mempelajari operasi kali, bagi, tambah, kurang.

sistem persamaan dan pertidaksamaan linier dua variabel

A.   SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

1.      Sistem persamaan linier dua variable

Sistem persamaan linier adalah himpunan beberapa persamaan linier yang saling terkait,dengan koefisien – koefisien persamaan adalah bilangan real. Sistem persamaan linier dua variable adalah suatu sistem persamaan linier dengan dua variable. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan dua variable x dan y adalah :

a₁x + b₁y = c_{1………………….} (1)

a₂x + b₂y = c_{2………………….} (2)

Dengan a_{1 ,} a_{2 ,}b_{1 ,} b_{2 ,} c₁ , dan c₂ bilangan real a₁ dan b₁ tidak keduanya 0; a₂ dan b₂ tidak keduanya 0.

x,y       : variable

a_{1 ,} a₂     : koefisien variable x

b_{1 ,} b₂    : koefisien variable y

c₁ , c₂   : konstanta persamaan

Sistem persamaan linier homogeny merupakan sistem persamaan linier dengan suku konstan sama dengan nol dan memenuhi salah satu dari dua hal berikut :

a.       Sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial

b.      Sistem tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian tak trivial selain penyelesaian trivial

2.      Sistem pertidaksamaan linier dua variable

Berikut bentuk umum dari pertidaksamaan linier dua variable

ax + by > c ax + by > c ax + by ≥ c ax + by ≤ c

Dengan : a = koefisien dari x , a ≠ 0 b = koefisien dari y , b ≠ 0 c = konstanta a , b , dan c anggota bilangan real

Sistem pertidaksamaan linier dua variable adalah suatu sistem pertidaksamaan linier yang memuat dua variable dengan koefisien bilangan real.

Contoh :

Tentukan daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan x ≥ 0; y ≤ 0 ; x ≤ 3; x + y ≤ 5; x,y € R

1)      Kita cari titik potong x + y = 5 dengan sumbu koordinat cartesius

Untuk x = 0 → 0 + y = 5 → y = 5

Untuk y = 0 → x + 0 = 5 → x = 5

Jadi, diperoleh titik potong ( 0,5 ) dan ( 5,0).